3 июня 2017

  1. Пусть и — два ненулевых вектора из . Верно ли, что найдется симметричная матрица для которой ?
  2. Непрерывная функция такова, что . Докажите, что для какого-то имеет место равенство .
    Решение
    Пусть . Тогда
    Заметим, что . Отсюда следует, что функция меняет знак на отрезке (теорема о промежуточном значении непрерывной функции). Иными словами, , откуда следует утверждение задачи.
  3. Из равномерного распределения на отрезке независимо выбираются две точки и . При каких события и независимы?
  4. В компании «Тындекс» у каждого сотрудника не менее знакомых. Оказалось, что есть два сотрудника, знакомые друг с другом лишь через рукопожатий (то есть кратчайшая соединяющая их цепочка из попарно знакомых людей содержит промежуточных людей). Докажите, что в этой компании хотя бы сотрудников.
  5. Квадратная матрица размера имеет различные собственные значения . Найдите все собственные значения (в том числе комплексные) матрицы
    Решение
    Поскольку элементы столбцов блочной матрицы коммутируют, характеристическое уравнение можно представить в следующем виде: Видно, что уравнению удовлетворяют чисел — они и будут искомыми собственными значениями.
    Ответ
    .
  6. Вы — воин Света, и сегодня вам нужно победить толпу из гоблинов, каждый из которых изначально имеет единиц жизни ,,. Боретесь с гоблинами вы с помощью специального магического посоха. Если ударить таким посохом по гоблину, тот сразу же теряет единиц жизни, а все остальные гоблины в толпе теряют единиц жизни каждый (таковы магические свойства посоха). Гоблин считается побежденным, если после очередного удара его здоровье становится меньше или равно нулю. Обычная борьба с нечистью давно нам приелась, и чтобы внести разнообразие в сегодняшнюю битву, вы решили победить всех гоблинов, сделав минимально возможное число ударов посохом. Предложите алгоритм нахождения этого числа ударов. Ваш алгоритм должен иметь асимптотику по времени , затраты по памяти — .
  7. Пусть и — две случайных булевых матрицы , у которых каждый элемент равен с вероятностью (значения различных элементов не зависят друг от друга). Сколько в среднем единиц будет в их произведении, если сложение и умножение происходят по модулю ?
  8. Исследуйте на сходимость (абсолютную и условную) ряд , где
    Решение
    (а) Исследуем на абсолютную сходимость.
    Разберем сначала вспомогательное утверждение: Рассмотрим два случая:
    (i) утверждение очевидно
    (ii)
    Рассмотрим единичную окружность и проведем две прямые: и . Тогда множество расположено на окружности между двумя этими прямыми. Из геометрических соображений можно увидеть, что при повороте этого множества на радиан, оно выйдет за пространство между прямыми. Это означает, что и , откуда следует исходное утверждение. В частности, из этого утверждения следует расходимость ряда .
    Попробуем теперь на основе этой идеи получить оценку на сумму абсолютных значений соседних членов исходного ряда: (здесь мы воспользовались тем, что — четная функция, первый нуль которой расположен в точках и при интегрировании не достигается).
    Используя аналогичные рассуждения, получим: Воспользуемся неравенством при . Тогда получим и по признаку сравнения заключаем, что ряд не сходится абсолютно.
    (б) Исследуем на условную сходимость.
    Представим члены ряда в следующем виде: Также заметим, что сходится, поскольку ряд сходится абсолютно. Тогда по признаку сравнения, если ряд сходится, то сходится и исходный ряд.
    Воспользуемся признаком Дирихле для сходимости рядов Абелева типа. Последовательность монотонна и стремится к нулю, осталось доказать ограниченность последовательности частичных сумм .
    Поскольку получаем, что ряд сходится условно (чтобы посчитать последнюю сумму, можно домножить ее на и расписать произведения синусов через разности косинусов).
    Ответ
    Ряд сходится условно.