8 июня 2014

  1. Пусть — невырожденная вещественная матрица , все элементы которой положительны. Докажите, что число нулей среди элементов матрицы не превосходит .
  2. Трое игроков по очереди вынимают от до камней из кучи (количество камней в куче им изначально известно). Игрок, вынувший последний камень, проигрывает. Докажите, что если изначально куча была достаточно велика, то любые два игрока, договорившись, сумеют привести третьего к проигрышу.
  3. Найдите предел последовательности , определяемой рекуррентным соотношением , где — любая последовательность со свойством при .
    Решение
    Производя рекуррентные подстановки, нетрудно получить явное выражение Поскольку последовательность сходится, она ограничена. Более формально . Тогда Воспользуемся неравенством между средним арифметическим и средним квадратическим Поскольку модуль ограничен рядом, сходящимся к , при .
    Ответ
    .
  4. Отрезок разбит двумя случайными точками на три части. Найдите математическое ожидание длины меньшей из частей.
  5. Предложите алгоритм, находящий значения неизвестного многочлена -й степени , если даны его значения , . Ограничение по времени — .
  6. Вычислите интеграл
  7. Когда студент пришел в аудиторию, на доске было написано число . В ожидании лекции студент подкидывает монетку и, если выпадет орел, он прибавляет к числу , а если решка — то вычитает . Орел и решка выпадают с равной вероятностью. Найдите вероятность того, что на момент после -го подбрасывания число на доске сменило знак (с положительного на отрицательный или наоборот) (а) ровно раз; (б) ни разу.
  8. При каких натуральных существует квадратная матрица порядка с элементами такая, что ее квадрат — это матрица из одних единиц?