8 июня 2019

1. Заполните третий столбец матрицы $$\frac{1}{6} \left( \begin{array}{ccc} 5&-2&?\\-2&2&?\\-1&-2&? \end{array} \right)$$ если известно, что это матрица ортогональной проекции на некоторую плоскость.
2. Что вы можете сказать о сходимости (абсолютной или условной) ряда $\sum_{n=1}^{\infty} (n+2019)a_n$, если известно, что ряд $\sum_{n=1}^{\infty} (n-2019)a_n$ сходится (а) абсолютно, (б) условно?
3. Алёна очень любит алгебру. Каждый день, заходя на свой любимый алгебраический форум, она с вероятностью $\frac14$ находит там новую интересную задачу про группы, а с вероятностью $\frac{1}{10}$ интересную задачку про кольца. С вероятностью $\frac{13}{20}$ новых задач на форуме не окажется. Пусть $X$ — это минимальное число дней, за которые у Алёны появится хотя бы одна новая задача про группы и хотя бы одна про кольца. Найдите распределение случайной величины $X$. В ответе должны участвовать только компактные выражения (не содержащие знаков суммирования, многоточий и пр.).
4. Дан массив $\text{A[1:n]}$ вещественных чисел, отсортированный по возрастанию, а также числа $p$, $q$, $r$. Предложите алгоритм, строящий массив $\text{B[1:n]}$, состоящий из чисел $px^2 + qx + r$, где $x \in \text{A}$, также отсортированный по возрастанию. Ограничение по времени — $O(n)$, по дополнительной памяти — $O(n)$.
5. Вещественнозначная функция $f$ определена на отрезке $[a;b]$ $(b-a \geqslant 4)$ и дифференцируема на нём. Докажите, что найдётся точка $x_0 \in (a;b)$, для которой $$f'(x_0) < 1 + f^2(x_0).$$
6. Квадратная вещественная матрица $A$ такова, что $A^\text{T} = p(A)$, где $p(x)$ — многочлен с ненулевым свободным членом. Докажите, что $A$ обратима. Верно ли, что для любого оператора $\varphi : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ найдётся многочлен $p(x)$ и некоторый базис, в котором матрица $\varphi$ удовлетворяет условию $A^\text{T} = p(A)$?
7. Дан граф с $30$ вершинами. Известно, что для любых $5$ вершин в графе есть цикл длины $5$, содержащий эти вершины. Докажите, что найдётся $10$ вершин, попарно соединённых рёбрами друг с другом.
8. Найдите предел $$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=n}^{5n} C_{k-1}^{n-1} \left( \frac15 \right)^n \left( \frac45 \right)^{k-n}.$$