9 июня 2018

1. Пусть $A$ — квадратная матрица $n \times n$. Докажите, что $n - \text{rk}A \geqslant \text{rk}A - \text{rk} A^2$.
2. Сколькими способами $n$ различных четных чисел и $n$ различных нечетных чисел можно записать в таблицу $2 \times n$ таким образом, чтобы нечетное число никогда не стояло под четным? Ответ должен содержать не более одной суммы.
3. На станцию приходят в случайное время две электрички. Времена их приходов независимы и имеют экспоненциальное распределение с плотностью $e^{-x} \cdot \mathbb{I} \{ x > 0 \}$. Студент приходит на станцию в момент времени $2$. Найдите
   a) вероятность того, что он сможет уехать хотя бы на одной электричке;
   б) математическое ожидание времени ожидания студентом ближайшей электрички (считаем, что время ожидания равно нулю, если студент опоздал на обе электрички).
4. Верно ли, что всякая нечетная непрерывная функция, удовлетворяющая условию $f(2x) = 2f(x)$, линейна?
5. Пусть $A$ и $B$ — ортогональные матрицы (не ортогональные друг другу, а просто ортогональные!). Докажите, что $$\det (A^\mathrm{T} B - B^\mathrm{T} A) = \det (A+B) \cdot \det (A- B).$$
6. Назовем элемент прямоугольной матрицы седлом, если он является наибольшим в своей строке и наименьшим в своем столбце или наоборот. Придумайте алгоритм, за $O(nm)$ операций находящий все седла в матрице $\text{A[1}\,\text{.}\,\text{.}\,\text{n][1}\,\text{.}\,\text{.}\,\text{m]}$, использующий не более $O(n+m)$ памяти и не более $1$ раза обращающийся к каждому элементу $\text{A}$ (можете считать, что элемент $\text{A[i][j]}$ превращается в $\text{NaN}$ сразу после вызова $\text{A[i][j]}$). Считайте, что все элементы матрицы различны.
7. В компании «Тындекс» работает $100$ сотрудников, некоторые из них знакомы друг с другом. Докажите, что найдется такая пара из них, для которой существует хотя бы $50$ сотрудников, каждый из которых либо знаком с обоими людьми в этой паре, либо не знаком ни с одним из этой пары.
8. Пусть $\{ \xi_n \}_{n \geqslant 1}$ — последовательность случайных величин, имеющих стандартное нормальное распределение. Сходится ли ряд $$\sum_{n=1}^\infty P \left(\xi_n > \sqrt{2 \ln n + 2\ln \ln n} \right)?$$