19 февраля 2014 (Харьков)

1. Найти все квадратные вещественные матрицы порядка $3$, удовлетворяющие уравнению $X^2 + E = 0$.
2. Среди участников похода из любых четырех как минимум один знаком с тремя другими. Докажите, что каждый участник похода кроме максимум трех, знаком со всеми остальными.
3. Опишите все невырожденные вещественные матрицы $A$, для которых все элементы матриц $A$ и $A^{-1}$ неотрицательны.
4. Дан числовой массив длины $n$. Предложите алгоритм, находящий максимальное значение сумм отрезков этого массива. Ограничение по времени — $O(n)$, по дополнительной памяти — $O(1)$.
5. Есть $10$ монет разного веса и некоторые весы. При помощи одного взвешивания на весах можно узнать для выбранных двух монет, какая тяжелее. Можно ли за $20$ взвешиваний узнать, в каком порядке монеты идут по весу?
6. Вычислите сумму интегралов: $$\int\limits_{\sqrt{\pi/6}}^{\sqrt{\pi/3}} \sin (x^2) dx + \int\limits_{1/2}^{\sqrt{3}/2} \sqrt{\arcsin x} dx.$$
7. Игра состоит из одинаковых и независимых конов, в каждом из которых выигрыш происходит с вероятностью $p$. Когда игрок выигрывает, он получает $1$ доллар, а когда проигрывает — платит $1$ доллар. Как только его капитал достигает величины $N$ долларов, он объявляется победителем и удаляется из казино. Найдите вероятность того, что игрок рано или поздно проиграет все деньги, в зависимости от его стартового капитала $K$.
8. Пусть $a$ — действительное число. Для каждого целого $n \geqslant 0$ обозначим через $a_n$ расстояние от $a$ до ближайшего рационального числа вида $\frac{m}{2^n}$, где $m$ — целое. Найдите наибольшую возможную сумму ряда $\sum\limits_{n=0}^\infty a_n$.