25 мая 2014

1. Пусть $A$ — квадратная матрица, у которой сумма матричных элементов в каждом столбце равна $\lambda$. Докажите, что $\lambda$ является собственным значением матрицы $A$.
2. На плоскости зафиксированы две точки $A$ и $B$ на расстоянии $2$. Пусть $C$ — случайно выбранная точка круга радиуса $R$ с центром в середине отрезка $AB$. С какой вероятностью треугольник $ABC$ будет тупоугольным?
3. Требуется отгадать число от $1$ до $n$ $(n>10)$, задавая лишь вопросы, на которые можно отвечать «да» или «нет», при этом отвечающий может один раз солгать. Придумайте алгоритм, гарантированно позволяющий сделать это быстрее, чем за $2\lceil \log_2 n \rceil + 1$ шагов.
4. Найдите интеграл $$\int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^{2014} x}{\sin^{2014} + \cos^{2014} x} dx.$$
5. Зададим числовую последовательность $a_n$ следующим образом. Пусть $a_1$ и $a_2$ — произвольные натуральные числа. Число $a_n$ получается приписыванием к $a_{n-1}$ числа $a_{n-2}$ справа. Предложите алгоритм, вычисляющий по данным $a_1$ и $a_2$ $i$-ю цифру числа $a_n$ и оцените его временную сложность. Ограничение по памяти: $O(1)$.
6. Пусть функция $f$ непрерывна и ограничена на промежутке $(x_0, +\infty)$. Докажите, что для любого числа $T$ существует последовательность $\{x_n\}$, стремящаяся к $+\infty$ и такая, что $f(x_n+T) - f(x_n) \to 0$ при $n \to \infty$.
7. Найдите максимальное значение определителя матрицы (а) второго (б) третьего порядка, если сумма квадратов всех ее элементов не превосходит $1$.
8. В компании из $51$ человека каждый на дух не переносит ровно троих (при этом они не обязательно отвечают ему взаимностью). Требуется разделить компанию на $n$ групп так, чтобы каждый человек входил только в одну грппу, и между членами каждой из групп царило взаимопонимание. При каком наименьшем $n$ это возможно?