25 мая 2019

1. Лёша и Марина договорились встретиться между $8{:}00$ и $9{:}00$ и вместе пойти на экзамен в ШАД. Каждый из них приходит на место встречи в случайный момент времени, ждёт $15$ минут и уходит (никому не хочется опоздать на экзамен). Являются ли независимыми события «Лёша и Марина не встретились» и «хотя бы один из них пришел после $8{:}45$»? Время считайте непрерывным.
2. Известно, что $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{\sin x} = 2$. Чему равен предел $\lim_{x \to 0} \frac{\ln (1+3x)}{f(x)}$?
3. Верно ли, что для любых линейно-независимых $v, w \in \mathbb{R}^n$ найдётся матрица $A$ размера $n \times n$, для которой вектор $v$ является собственным с собственным значением $5$, а вектор $w$ не лежит в образе? Если да, то как найти хотя бы одну такую матрицу? Обязательно объясните ответ.
4. Дан массив вещественных чисел $\text{A[1:n]}$. Предложите алгоритм, находящий для каждого элемента $\text{A}$ индекс ближайшего справа элемента, большего его хотя бы в два раза. Если такого элемента нет, то должно возвращаться значение $\text{None}$. Ограничение по времени $O(n \log n)$, по дополнительной памяти — $O(n)$.
5. В корзине лежит $m$ чёрных шаров и $n$ красных. Вася достаёт из корзины случайный шар и, если он чёрный, то заменяет его на красный, а если он красный, то кладёт его обратно. Найдите математическое ожидание и дисперсию числа красных шаров в корзине после $k$ итераций этой процедуры. Оба ответа должны быть компактными выражениями (то есть не содержать знаков суммирования, многоточий и пр.).
6. Матрицы $A$ и $B$ таковы, что $A^2 = A$, $B^2 = B$ и матрица $E - (A+B)$ обратима. Докажите, что $\text{rk}\,A = \text{rk}\,B$.
7. Пусть $M$ — множество непрерывных убывающих функций на отрезке $[0;1]$, для которых $f(1) = 0$. Найдите $$\inf_{f \in M} \sup_{x \in [0;1]} \frac{xf(x)}{\int_0^1 f(t) dt}.$$
8. Дан граф с $40$ вершинами. Известно, что среди любых $5$ вершин найдется одна, соединенная с четырьмя остальными. Каково минимально возможное число ребер в этом графе?