25 мая 2019

  1. Лёша и Марина договорились встретиться между и и вместе пойти на экзамен в ШАД. Каждый из них приходит на место встречи в случайный момент времени, ждёт минут и уходит (никому не хочется опоздать на экзамен). Являются ли независимыми события «Лёша и Марина не встретились» и «хотя бы один из них пришел после »? Время считайте непрерывным.
  2. Известно, что . Чему равен предел ?
  3. Верно ли, что для любых линейно-независимых найдётся матрица размера , для которой вектор является собственным с собственным значением , а вектор не лежит в образе? Если да, то как найти хотя бы одну такую матрицу? Обязательно объясните ответ.
  4. Дан массив вещественных чисел . Предложите алгоритм, находящий для каждого элемента индекс ближайшего справа элемента, большего его хотя бы в два раза. Если такого элемента нет, то должно возвращаться значение . Ограничение по времени , по дополнительной памяти — .
  5. В корзине лежит чёрных шаров и красных. Вася достаёт из корзины случайный шар и, если он чёрный, то заменяет его на красный, а если он красный, то кладёт его обратно. Найдите математическое ожидание и дисперсию числа красных шаров в корзине после итераций этой процедуры. Оба ответа должны быть компактными выражениями (то есть не содержать знаков суммирования, многоточий и пр.).
  6. Матрицы и таковы, что , и матрица обратима. Докажите, что .
  7. Пусть — множество непрерывных убывающих функций на отрезке , для которых . Найдите
  8. Дан граф с вершинами. Известно, что среди любых вершин найдется одна, соединенная с четырьмя остальными. Каково минимально возможное число ребер в этом графе?