26 мая 2018

1. Существуют ли ортогональные кососимметричные матрицы $2019 \times 2019$? А $2018 \times 2018$?
2. На отрезке $[0,1]$ в точках $x$, $y$, независимо выбранных из равномерного распределения, находится два детектора элементарных частиц. Детектор засекает частицу, если она пролетает на расстоянии не более $\frac{1}{3}$ от него. Известно, что поля восприятия детекторов покрывают весь отрезок. С какой вероятностью $y > \frac{5}{6}$?
3. Определите, сколько корней имеет уравнение $$\int\limits_x^{x+\frac{1}{2}} \cos \left( \frac{t^2}{3} \right) dt = 0$$ на отрезке $[0,3]$.
4. Дан массив $\text{A[1}\,\text{.}\,\text{.}\,\text{n]}$, состоящий из цифр от $0$ до $9$. Предложите алгоритм, находящий самое большое натуральное число, делящееся на $3$, которое можно составить из элементов $\text{A}$. Ограничение по времени — $O(n)$, по дополнительной памяти — $O(1)$ (решения, использующие $O(n)$ дополнительной памяти, будут рассмотрены, но оценка будет ниже).
5. Случайная величина $X$ равна длине цикла, содержащего одновременно элементы $1$ и $2$, при случайной перестановке множества $\{1,2,\ldots, n\}$. Если такого цикла нет, то $X=0$. Найдите распределение случайной величины $X$ и ее математическое ожидание.
6. Последовательность $(a_n)$ такова, что все $a_n \in (0,1)$ и, кроме того, $a_{n+1} < \frac{a_n+a_{n-1}}{2}$. Верно ли, что $a_n$ сходится? Найдите множество всех возможных пределов таких последовательностей.
7. Для двух квадратных матриц $A$ и $B$ одного и того же размера $n$ обозначим через $A \bigstar B$ матрицу, определяемую следующим образом: $$(A \bigstar B)_{ij} = \begin{cases} (AB)_{ij}, & \text{если $i$ нечетно,} \\ b_{ij}, & \text{иначе.} \end{cases}$$ Для матрицы $A$ определим оператор $\Phi_A : B \mapsto A \bigstar B$ на пространстве матриц $n \times n$.
   (a) Может ли этот оператор иметь собственное значение $2$ для какой-либо матрицы $A$?
   (b) Какое наибольшее число различных собственных значений может иметь такой оператор (при фиксированном $n$)?
8. В волшебной стране Ляляндии $100$ городов, некоторые из которых соединены авиалиниями. Известно, что из каждого города выходит более $90$ авиалиний. Докажите, что найдется $11$ городов, попарно соединенных авиалиниями друг с другом.